Các kết quả số học Khoảng cách số nguyên tố

Thường thì tỷ lệ của gn ∕ln(pn) được gọi là merit của khoảng cách gn . Tính đến ngày 25 tháng 2 năm 2022[cập nhật], khoảng cách số nguyên tố lớn nhất với đuôi là số có thể nguyên tố có độ dài 6966714, bao gồm 208296 chữ số của số có thể nguyên tố và merit M = 14.5395, được phát hiện bởi Michiel Jansen dùng phần mềm sàng phát triển bởi J. K. Andersen.[2][3]. Trong khi đó, khoảng cách số nguyên tố lớn nhất với đuôi là số nguyên tố đã được chứng minh có độ dài bằng 1113106 và merit = 25.90, với 18662 chữ số trong số nguyên tố, phát hiện bởi P. Cami, M. Jansen và J. K. Andersen.[4][5]

Tính đến tháng 12 năm 2017[cập nhật], giá trị merit lớn nhất và đầu tiên lớn hơn 40, phát hiện bởi mạng Gapcoin, là 41.93878373 với số nguyên tố 87 chữ số: 293703234068022590158723766104419463425709075574811762098588798217895728858676728143227. Khoảng cách số nguyên tố của số này với số nguyên tố ngay sau đó là 8350.[6]

**Các giá trị merit đã được tính** (tính đến tháng 10 năm 2020[cập nhật])[6][7][8][9]
Merit	gn	Số chữ số	pn	Năm	Người phát hiện
41.938784	8350	87	xem trên	2017	Gapcoin
39.620154	15900	175	3483347771 × 409#/30 − 7016	2017	Dana Jacobsen
38.066960	18306	209	650094367 × 491#/2310 − 8936	2017	Dana Jacobsen
38.047893	35308	404	100054841 × 953#/210 − 9670	2020	Seth Troisi
37.824126	8382	97	512950801 × 229#/5610 − 4138	2018	Dana Jacobsen

Tỷ lệ Cramér–Shanks–Granville được tính bằng tỷ lệ gn / (ln(pn))2.[6] Nếu ta bỏ đi tỷ lệ cao thất thường của các số nguyên tố 2, 3, 7, thì giá trị lớn nhất tính theo tỷ lệ này là 0.9206386 cho số nguyên tố 1693182318746371. Các giá trị khác có thể được xem ở A111943.

Ta gọi gn là khoảng cách tối đại, nếu gm < gn với mọi m < n.Tính đến tháng 8 năm 2018[cập nhật], khoảng cách tối đại lớn nhất được biết có độ dài 1550, và được tìm thấy bởi Bertil Nyman. Nó là khoảng cách tối đại thứ 80, xuất hiện ngay sau số nguyên tố 18361375334787046697.[10] Các khoảng cách tối đại khác được ghi trong A005250, còn các số nguyên tố tương ứng pn nằm trong A002386, và các giá trị n nằm trong A005669. Dãy các khoảng cách tối đại cho tới số nguyên tố thứ n được giả thuyết có khoảng 2 ln ⁡ n {\displaystyle 2\ln n} phần tử[11] (xem bảng dưới).

80 khoảng cách tối đại đã biết

Từ 1 đến 27
#	gn	pn	n
1	1	2	1
2	2	3	2
3	4	7	4
4	6	23	9
5	8	89	24
6	14	113	30
7	18	523	99
8	20	887	154
9	22	1,129	189
10	34	1,327	217
11	36	9,551	1,183
12	44	15,683	1,831
13	52	19,609	2,225
14	72	31,397	3,385
15	86	155,921	14,357
16	96	360,653	30,802
17	112	370,261	31,545
18	114	492,113	40,933
19	118	1,349,533	103,520
20	132	1,357,201	104,071
21	148	2,010,733	149,689
22	154	4,652,353	325,852
23	180	17,051,707	1,094,421
24	210	20,831,323	1,319,945
25	220	47,326,693	2,850,174
26	222	122,164,747	6,957,876
27	234	189,695,659	10,539,432

Từ 28 đến 54
#	gn	pn	n
28	248	191,912,783	10,655,462
29	250	387,096,133	20,684,332
30	282	436,273,009	23,163,298
31	288	1,294,268,491	64,955,634
32	292	1,453,168,141	72,507,380
33	320	2,300,942,549	112,228,683
34	336	3,842,610,773	182,837,804
35	354	4,302,407,359	203,615,628
36	382	10,726,904,659	486,570,087
37	384	20,678,048,297	910,774,004
38	394	22,367,084,959	981,765,347
39	456	25,056,082,087	1,094,330,259
40	464	42,652,618,343	1,820,471,368
41	468	127,976,334,671	5,217,031,687
42	474	182,226,896,239	7,322,882,472
43	486	241,160,624,143	9,583,057,667
44	490	297,501,075,799	11,723,859,927
45	500	303,371,455,241	11,945,986,786
46	514	304,599,508,537	11,992,433,550
47	516	416,608,695,821	16,202,238,656
48	532	461,690,510,011	17,883,926,781
49	534	614,487,453,523	23,541,455,083
50	540	738,832,927,927	28,106,444,830
51	582	1,346,294,310,749	50,070,452,577
52	588	1,408,695,493,609	52,302,956,123
53	602	1,968,188,556,461	72,178,455,400
54	652	2,614,941,710,599	94,906,079,600

Từ 55 đến 80
#	gn	pn	n
55	674	7,177,162,611,713	251,265,078,335
56	716	13,829,048,559,701	473,258,870,471
57	766	19,581,334,192,423	662,221,289,043
58	778	42,842,283,925,351	1,411,461,642,343
59	804	90,874,329,411,493	2,921,439,731,020
60	806	171,231,342,420,521	5,394,763,455,325
61	906	218,209,405,436,543	6,822,667,965,940
62	916	1,189,459,969,825,483	35,315,870,460,455
63	924	1,686,994,940,955,803	49,573,167,413,483
64	1,132	1,693,182,318,746,371	49,749,629,143,526
65	1,184	43,841,547,845,541,059	1,175,661,926,421,598
66	1,198	55,350,776,431,903,243	1,475,067,052,906,945
67	1,220	80,873,624,627,234,849	2,133,658,100,875,638
68	1,224	203,986,478,517,455,989	5,253,374,014,230,870
69	1,248	218,034,721,194,214,273	5,605,544,222,945,291
70	1,272	305,405,826,521,087,869	7,784,313,111,002,702
71	1,328	352,521,223,451,364,323	8,952,449,214,971,382
72	1,356	401,429,925,999,153,707	10,160,960,128,667,332
73	1,370	418,032,645,936,712,127	10,570,355,884,548,334
74	1,442	804,212,830,686,677,669	20,004,097,201,301,079
75	1,476	1,425,172,824,437,699,411	34,952,141,021,660,495
76	1,488	5,733,241,593,241,196,731	135,962,332,505,694,894
77	1,510	6,787,988,999,657,777,797	160,332,893,561,542,066
78	1,526	15,570,628,755,536,096,243	360,701,908,268,316,580
79	1,530	17,678,654,157,568,189,057	408,333,670,434,942,092
80	1,550	18,361,375,334,787,046,697	423,731,791,997,205,041